यदि f(x) = begin{cases} x left( frac{e^{1/x} | vedclass

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Question

(C) सबसे पहले,$x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करें: $\lim_{x 	o 0} f(x) = \lim_{x 	o 0} x \left( \frac{e^{1/x} - e^{-1/x}}{e^{1/x} + e^{-1/x}} ight)$.

Vedclass · Accepted Answer

$f$ प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है

Vedclass · Answer

(C) सबसे पहले,$x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करें: $\lim_{x 	o 0} f(x) = \lim_{x 	o 0} x \left( \frac{e^{1/x} - e^{-1/x}}{e^{1/x} + e^{-1/x}} ight)$. चूँकि सभी $x 
eq 0$ के लिए $\left| \frac{e^{1/x} - e^{-1/x}}{e^{1/x} + e^{-1/x}} ight| अब,$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करें: $LHD = \lim_{h 	o 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h 	o 0^+} \frac{-h \left( \frac{e^{-1/h} - e^{1/h}}{e^{-1/h} + e^{1/h}} ight)}{-h} = \lim_{h 	o 0^+} \frac{e^{1/h} - e^{-1/h}}{e^{1/h} + e^{-1/h}} = \lim_{h 	o 0^+} \frac{1 - e^{-2/h}}{1 + e^{-2/h}} = 1$. $RHD = \lim_{h 	o 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0^+} \frac{h \left( \frac{e^{1/h} - e^{-1/h}}{e^{1/h} + e^{-1/h}} ight)}{h} = \lim_{h 	o 0^+} \frac{1 - e^{-2/h}}{1 + e^{-2/h}} = 1$. चूँकि $LHD = RHD = 1$ है,फलन $x = 0$ पर अवकलनीय है। अतः,$f$ प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है।

यदि $f(x) = \begin{cases} x \left( \frac{e^{1/x} - e^{-1/x}}{e^{1/x} + e^{-1/x}} \right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ है,तो सही कथन है:

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यदि $f(x) = \begin{cases} k \cos x - x \cos k, & x \in [0, \frac{\pi}{2}] \\ k \sin x + x \sin k, & x \in (\frac{\pi}{2}, \pi] \end{cases}$ अंतराल $(0, \pi)$ में अवकलनीय है,तो:

उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ फलन $f(x) = \text{maximum}(\sqrt{2x - x^2}, 2 - x)$ अवकलनीय नहीं है:

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